ÀREAS SOMBREADAS

superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.


Área de figuras planasÁrea de un triángulo
El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)



Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:





donde a y b son los catetos.
Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.





donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por

Área es la extensión o

Área de un cuadrilátero
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:


El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:

Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:







El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura)

Además de las fórmulas para calcular áreas de las figuras geométricas planas más comunes, debes tener en cuenta las siguientes áreas circulares.

	CUADRANTE
	SECTOR CIRCULAR
	SEGMENTO CIRCULAR
	EMBECADURA

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo



Semejanza de triángulos

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones metricas en el triangulo rectangulo

 

Las relaciones métricas en el triángulo son cinco teoremas o propiedades, incluyendo la ecuación del Teorema de Pitágoras. Estas son válidas, exclusivamente, en el triángulo rectángulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Triángulo utilizado para describir las propiedades.

Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:

c es la hipotenusa,

h es la altura relativa a la hipotenusa,

p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

• El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:

comprobación

el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

despejando

• El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:

comprobación

el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

despejando:

• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).

comprobación

del teorema anterior:

sumando ambas ecuaciones:

luego

pero p+q=c

finalmente

• El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:

SEMJEANZA DE TRIANGULOS

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.