Las relaciones métricas en el triángulo son cinco teoremas o propiedades, incluyendo la ecuación del Teorema de Pitágoras. Estas son válidas, exclusivamente, en el triángulo rectángulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Triángulo utilizado para describir las propiedades.
Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:
- c es la hipotenusa,
- h es la altura relativa a la hipotenusa,
- p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,
se cumplen las siguientes propiedades:
- El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:
- comprobación
el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:
despejando
- El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:
- comprobación
el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:
despejando:
- El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).
- comprobación
del teorema anterior:
sumando ambas ecuaciones:
luego
pero p+q=c
finalmente
- El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:
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